Finite Mathematik Beispiele

Finde die Nullstellen f(x)=5cos(pix)^2
f(x)=5cos2(πx)
Schritt 1
Setze 5cos2(πx) gleich 0.
5cos2(πx)=0
Schritt 2
Löse nach x auf.
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Schritt 2.1
Teile jeden Ausdruck in 5cos2(πx)=0 durch 5 und vereinfache.
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Schritt 2.1.1
Teile jeden Ausdruck in 5cos2(πx)=0 durch 5.
5cos2(πx)5=05
Schritt 2.1.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 2.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von 5.
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Schritt 2.1.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
5cos2(πx)5=05
Schritt 2.1.2.1.2
Dividiere cos2(πx) durch 1.
cos2(πx)=05
cos2(πx)=05
cos2(πx)=05
Schritt 2.1.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.1.3.1
Dividiere 0 durch 5.
cos2(πx)=0
cos2(πx)=0
cos2(πx)=0
Schritt 2.2
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
cos(πx)=±0
Schritt 2.3
Vereinfache ±0.
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Schritt 2.3.1
Schreibe 0 als 02 um.
cos(πx)=±02
Schritt 2.3.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
cos(πx)=±0
Schritt 2.3.3
Plus oder Minus 0 ist 0.
cos(πx)=0
cos(πx)=0
Schritt 2.4
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um x aus dem Kosinus herauszuziehen.
πx=arccos(0)
Schritt 2.5
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.5.1
Der genau Wert von arccos(0) ist π2.
πx=π2
πx=π2
Schritt 2.6
Teile jeden Ausdruck in πx=π2 durch π und vereinfache.
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Schritt 2.6.1
Teile jeden Ausdruck in πx=π2 durch π.
πxπ=π2π
Schritt 2.6.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 2.6.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von π.
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Schritt 2.6.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
πxπ=π2π
Schritt 2.6.2.1.2
Dividiere x durch 1.
x=π2π
x=π2π
x=π2π
Schritt 2.6.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.6.3.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
x=π21π
Schritt 2.6.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von π.
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Schritt 2.6.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
x=π21π
Schritt 2.6.3.2.2
Forme den Ausdruck um.
x=12
x=12
x=12
x=12
Schritt 2.7
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von 2π, um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
πx=2π-π2
Schritt 2.8
Löse nach x auf.
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Schritt 2.8.1
Vereinfache.
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Schritt 2.8.1.1
Um 2π als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit 22.
πx=2π22-π2
Schritt 2.8.1.2
Kombiniere 2π und 22.
πx=2π22-π2
Schritt 2.8.1.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
πx=2π2-π2
Schritt 2.8.1.4
Mutltipliziere 2 mit 2.
πx=4π-π2
Schritt 2.8.1.5
Subtrahiere π von 4π.
πx=3π2
πx=3π2
Schritt 2.8.2
Teile jeden Ausdruck in πx=3π2 durch π und vereinfache.
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Schritt 2.8.2.1
Teile jeden Ausdruck in πx=3π2 durch π.
πxπ=3π2π
Schritt 2.8.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 2.8.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von π.
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Schritt 2.8.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
πxπ=3π2π
Schritt 2.8.2.2.1.2
Dividiere x durch 1.
x=3π2π
x=3π2π
x=3π2π
Schritt 2.8.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.8.2.3.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
x=3π21π
Schritt 2.8.2.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von π.
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Schritt 2.8.2.3.2.1
Faktorisiere π aus 3π heraus.
x=π321π
Schritt 2.8.2.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
x=π321π
Schritt 2.8.2.3.2.3
Forme den Ausdruck um.
x=32
x=32
x=32
x=32
x=32
Schritt 2.9
Ermittele die Periode von cos(πx).
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Schritt 2.9.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von 2π|b| berechnet werden.
2π|b|
Schritt 2.9.2
Ersetze b durch π in der Formel für die Periode.
2π|π|
Schritt 2.9.3
π ist ungefähr 3.14159265, was positiv ist, also entferne den Absolutwert
2ππ
Schritt 2.9.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von π.
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Schritt 2.9.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
2ππ
Schritt 2.9.4.2
Dividiere 2 durch 1.
2
2
2
Schritt 2.10
Die Periode der Funktion cos(πx) ist 2, d. h., Werte werden sich alle 2 rad in beide Richtungen wiederholen.
x=12+2n,32+2n, für jede Ganzzahl n
Schritt 2.11
Fasse die Ergebnisse zusammen.
x=12+1n, für jede Ganzzahl n
x=12+1n, für jede Ganzzahl n
Schritt 3
 [x2  12  π  xdx ]